[RE-97] Математичний аналіз. Частина 3

Опис дисципліни

Відповідно до навчального плану кредитний модуль «Вища  математика. Математичний аналіз3» входить до навчальної дисципліни «Вища математика» (ЗО 7), належить до циклу математичної, природничо-наукової підготовки та має домінуюче значення у підготовці фахівця. Він є необхідним для успішного засвоєння спеціальних дисциплін. Даний кредитний модуль ґрунтується на знаннях студентів, набутих при вивченні математики у середній школі. Дисципліна «Вища математика» є однією з фундаментальних загальноосвітніх дисциплін, що складають теоретичну основу підготовки інженерів та програмістів. Знання та вміння, отримані студентом під час вивчення даної навчальної дисципліни, використовуються в подальшому при вивченні багатьох наступних дисциплін професійної підготовки фахівця з базовою та повною вищою освітою.  При проходженні даної дисципліни студенти ознайомляться: з основами теорії рядів; теорією функцій комплексної змінної; інтегральними перетвореннями.

Цілі дисципліни

Метою навчальної дисципліни є:

• формування у здобувачів освіти логічного мислення, розвиток їх інтелекту та здібностей;
• формування здатностей до необхідної інтуїції та ерудиції у питаннях застосування математики, виховання у студентів прикладної математичної культури;
• формування здатностей самостійно використовувати і вивчати літературу з математики, розвивати гнучкість мислення, творчу самостійності та дію.

Предмет навчальної дисципліни

Загальні математичні властивості та закономірності. Теорія рядів; теорія функцій комплексної змінної; інтегральні перетвореннями.

Компетентності

Метою навчальної дисципліни є формування у студентів здатностей:

• здатність до абстрактного мислення, аналізу та синтезу (ЗК 1 );
• здатність застосовувати знання у практичних ситуаціях (ЗК 2 );
• здатність виявляти, ставити та вирішувати проблеми (ЗК 08 );
• здатність до застосування умінь, отриманих після засвоєння кредитного модуля «Вища  математика. Математичний аналіз1», при вивченні загально інженерних та спеціальних дисциплін;
• здатність використовувати методи математичного аналізу в інженерних розрахунках;
• Здатність доводити розв’язок задачі до практично прийнятого результату – числа, графіка, точного якісного висновку із застосуванням для цього адекватних обчислювальних засобів, таблиць і довідників;
• Здатність аналізувати одержані результати, здатності до узагальнення, постановки цілі та вибору шляхів її розв’язання, володіння культурою мислення.

Програмні результати навчання

• Аналізувати, аргументувати, приймати рішення при розв’язанні спеціалізованих задач та практичних проблем телекомунікацій та радіотехніки, які характеризуються комплексністю та неповною визначеністю умов (ПРН1);
• застосовувати фундаментальні і прикладні науки для аналізу та розробки процесів, що відбуваються в телекомунікаційних та радіотехнічних системах (ПРН12);
• Знати основні положення дисциплін природничого-наукового блоку підготовки за спеціальністю, достатніх для розв’язання фахових завдань діяльності
• Знати основи застосування фізико-математичного апарату для аналізу процесів у телекомунікаційних та радіотехнічних пристроях і системах;

• Досліджувати числові та функціональні ряди, в томі числі, степеневі ряди, ряди Тейлора та ряди Фур’є та орієнтуватися в сферах їх застосування;
• Визначати типи функцій комплексної змінної та класифікувати їх розриви, досліджувати функції на диференційованість, обчислювати інтеграли функцій комплексної змінної;
• Розвивати функції у ряди Тейлора і Лорана, класифікувати їх особливі точки, обчислювати лишки функцій і застосовувати їх;
• Знаходити зображення та оригінали у перетворенні Лапласа, застосовувати операторний метод до розв’язання диференціальних та інтегральних рівнянь.

Назва розділів і тем

Кількість годин

Всього

у тому числі

Лекції

Практичні

СРС

Розділ 1. Ряди

Тема 4.1. Ряди

Тема 4.2. Ряди та інтеграл Фур’є

23

13

10

6

10

5

3

2

Контрольна робота з розділу 1

2

–

1

1

Разом за розділом 1

38

16

16

6

Розділ 2. Функції комплексної змінної та їх застосування

Тема 4.3. Функції комплексної змінної

Тема 4.4. Операційне числення

27

18

12

8

12

7

3

3

Контрольна робота з розділу 2

2

–

1

1

Разом за розділом 2

47

20

20

7

Розрахункова робота

10

–

–

10

Залік

10

–

–

10

Всього годин

105

36

36

33

№

з/п

Назва теми лекції та перелік основних питань

(перелік дидактичних засобів, посилання на літературу та завдання на СРС)

1

Числові ряди: загальні відомості. Основні поняття, дослідження збіжності геометричного ряду. Властивості збіжних числових рядів, необхідна умова збіжності, критерій Больцано — Коші. Числові ряди з додатними членами і теореми порівняння.

Рекомендована література: [1], с.493-498; [2], с. 5-12.

2

Ознаки збіжності числових рядів. Ознаки збіжності числових рядів з додатними членами: Д’Аламбера, радикальна та інтегральна ознака Коші, дослідження збіжності узагальненого гармонічного ряду. Знакозмінні ряди: означення, поняття абсолютної та умовної збіжності, властивості абсолютно збіжних рядів, теорема Рімана (без доведення). Знакопочережні числові ряди, теорема Лейбніца, оцінка залишку такого ряду. Числові ряди з комплексними членами: основні поняття, необхідна і достатня умова збіжності, абсолютна збіжність.

Рекомендована література: [1], с.498-510, [2], с.12-22.

3

Функціональні ряди. Основні поняття (точки збіжності, області збіжності, рівномірної збіжності). Ознака Веєрштраса рівномірної збіжності. Теореми про неперервність суми, почленне інтегрування та диференціювання функціонального ряду.

Рекомендована література: [1], с.512-516, [2], с.22-25.

4

Степеневі ряди. Степеневий ряд на дійсній осі та в комплексній площині, перша теорема Абеля, поняття радіуса, інтервала (круга) та області збіжності степеневого ряду, вивід формул для радіуса збіжності. Теорема про рівномірну збіжність степеневого ряду (друга теорема Абеля), неперервність суми степеневого ряду, незмінність його радіуса. Збіжність при його почленному інтегруванні та диференціюванні.

Рекомендована література: [1], с.516-521,[2], с.25-29.

5

Розвинення функції в степеневий ряд. Ряд Тейлора. Формула Тейлора, залишковий член формули Тейлора в формі Лагранжа (нагадування матеріалу І семестра). Постановка задачі про розвинення функції у степеневий ряд на деякому проміжку, теорема про єдиність степеневого розвинення, поняття про ряди Тейлора і Маклорена. Умови зображення функції степеневим рядом. Розвинення деяких елементарних функцій у степеневі ряди.

Рекомендована література: [1], с.521-531,[2], с.29-36.

6

Розвинення функції в тригонометричний ряд. Ряд Фур’є. Поняття про ортогональні та ортонормовані системи функцій, тригонометрична система функцій. Постановка задачі про розвинення функції у тригонометричний ряд на даному проміжку, необхідна умова такого розвинення, теорема про єдиність такого розвинення, поняття тригонометричного ряду Фур’є. Вигляд ряду Фур’є та його коефіцієнтів для 2pi-періодичної та 2l-періодичної функцій, заданих на симетричному проміжку, вигляд ряду Фур’є для парних та непарних функцій.

Рекомендована література: [1], с.538-549, [2], с.36-44.

7

Розвинення функції в ряд Фур’є. Фізичний зміст такого розвинення. Розвинення в ряд Фур’є функцій, заданих на довільному відрізку [a,b]: вигляд ряду Фур’є та формул для його коефіцієнтів. Достатні умови розвинення функцій в тригонометричний ряд (теорема Діріхле без доведення). Комплексна форма ряду Фур’є: вигляд ряду та формул для його коефіцієнтів.

Рекомендована література: [1], с.549-556, [2], с.44-53.

Самостійна робота. Достатні умови і швидкість збіжності рядів Фур'є. Явище Гіббса. Мінімальна властивість многочлена Фур'є, нерівність Бесселя, рівність Парсеваля.

8

Інтеграл Фур’є. Інтеграл Фур’є: достатні умови зображення функції інтегралом Фур’є (формулювання теореми Фур’є), інтеграл Фур’є для парної та непарної функцій. Комплексна форма інтеграла Фур’є, поняття перетворення Фур’є, синус-, косинус-перетворень Фур’є. Поняття спектральної характеристики, амплітудно-частотного та фазово-частотного спектрів.

Рекомендована література: [1], с. 557-564, [2], с. 89-94.

9

Функції комплексної змінної: загальні відомості та основні елементарні функції. Комплексні числа (самостійна робота з повторення теми з 1-го семестра), комплексна площина, скінченна та розширена комплексна площина, стереографічна проекція. Поняття області та замкненої області, однозв’язної та багатозв’язної області.  Поняття функції комплексної змінної, її границі, неперервності, властивості неперервних функцій. Означення основних елементарних функцій комплексної змінної та їх властивості. Формула Ейлера. Зв’язок між гіперболічними та тригонометричними функціями. Обчислення значень основних елементарних функцій комплексної змінної.

Рекомендована література: [2], с.53-62.

10

Поняття похідної від функції комплексної змінної. Аналітичні функції. Поняття похідної функції комплексної змінної, аналітичної функції, умови Коші — Рімана (Д’Аламбера — Ейлера). Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Спряжені гармонічні функції. Знаходження аналітичної функції за однієї з її частин.

Рекомендована література: [2], с.62-68.

11

Інтегрування функцій комплексної змінної. Інтеграл від функції комплексної змінної: означення та властивості. Інтегральна теорема Коші. Поняття невизначеного інтеграла, формула Ньютона — Лейбніца. Інтегральна формула Коші.

Рекомендована література: [2], с.68-75.

12

Інтеграл типу Коші. Розвинення аналітичної функції у степеневий ряд. Інтеграл типу Коші, теорема про його аналітичність, існування похідних будь-якого порядку від аналітичної функції, теорема Морера. Розвинення аналітичної в крузі функції у степеневий ряд, поняття голоморфної функції та його еквівалентність з поняттям однозначної аналітичної функції, поняття правильної та особливої точок. Нерівність Коші для коефіцієнтів степеневого ряду, теорема Ліувілля. Нулі аналітичної функції: означення та знаходження їх кратності.

Рекомендована література: [2], с.75-80.

13

Ряди Лорана. Класифікація особливих точок аналітичної функції. Розвинення аналітичної у круговому кільці функції у ряд Лорана, правильна та головна частини розвинення Лорана, класифікація особливих ізольованих точок однозначного характеру. Лоранівське розвинення в околі нескінченної точки як особливої, класифікація нескінченної точки як особливої. Найпростіші класи аналітичних функцій: цілі та мероморфні функції.

Рекомендована література: [2], с.75-86.

14

Теорія лишків. Поняття лишку, основна теорема про лишки. Знаходження лишків, узагальнення основної теореми про лишки. Лема Жордана (без доведення), застосування теорії лишків до обчислення деяких типів інтегралів від дійсних функцій.

Рекомендована література: [2], с.86-89.

15

Перетворення Лапласа. Означення оригінала та зображення. Теорема про область існування та аналітичність зображення. Поняття про перетворення Лапласа, знаходження зображення одиничного (функція Хевісайда) та показникового оригіналів. Необхідна властивість зображення. Властивості перетворення Лапласа: однорідності, адитивності, лінійності.

Рекомендована література: [2], с.94-103.

16

Основні властивості перетворення Лапласа. Властивості перетворення Лапласа: теорема подібності, зображення періодичного оригіналу, теореми про диференціювання оригіналу та зображення, теорема запізнення, теорема про зсув, теореми про інтегрування оригіналу та зображення. Згортка оригіналів: означення, найпростіші властивості та теорема Бореля про її зображення, формули Дюамеля, таблиця найпростіших зображень.

Рекомендована література:  [2], с.94-103.

17

Обернене перетворення Лапласа. Знаходження оригіналу для дробово-раціонального зображення методом його розкладу на найпростіші раціональні дроби. Формула обернення Рімана — Мелліна, знаходження оригінала за даним зображенням за допомогою формули обернення та теорії лишків.

Рекомендована література: [2], с.94-103.

18

Застосування операційного числення. Приклади застосування операційного числення до розв’язання диференціальних та інтегральних рівнянь та їх систем. Огляд курсу.

Рекомендована література: [2], с.103-107.

№

з/п

Назва теми заняття та перелік основних питань

(перелік дидактичних засобів, посилання на літературу та завдання на СРС)

1

Дослідження збіжності числових рядів за означенням та теоремами порівняння.

Дослідження збіжності числових рядів за «іменними» ознаками.

Завдання на СРС:  [3], 1.5-1.9 (парні); [3], 2.8-2.14 (парні).

2

Дослідження збіжності знакозмінних числових рядів. Абсолютна та умовна збіжність. Дослідження абсолютної та умовної збіжності знакопочережних числових рядів.

Завдання на СРС:  [3], 3.3-3.5 (парні);

3

Знаходження області збіжності функціональних рядів. Дослідження їх на рівномірну збіжність за допомогою ознаки Ваєрштраса. Застосування рівномірної збіжності.

Завдання на СРС:  [3], 4.6-4.10 (парні);

4

Знаходження радіуса, інтервалу (круга) та області збіжності степеневого ряду. Прийоми розвинення функцій у степеневі ряди. Складання таблиці основних розкладів.

Завдання на СРС:  [3], 5.3-5.5 (парні);

5

Застосування розвинення функції у степеневий ряд: наближене обчислення значень функції, визначених інтегралів; наближене аналітичне розв’язання задачі Коші для диференціальних рівнянь, знаходження границь функції.

Завдання на СРС:  [3], 6.5-6.10 (парні);

6

Розвинення в ряд Фур’є 2pi- та 2l- періодичних функцій, заданих на симетричному проміжку. Розвинення в ряд Фур’є неперіодичних функцій, заданих на довільному проміжку. Комплексна форма ряду Фур’є.

Завдання на СРС:  [3], 7.8-7.10 (парні); [3], 7.11-7.14, 8.4 (парні);

7

Зображення функції інтегралом Фур’є. Перетворення Фур’є. Знаходження амплітудно-частотної та фазово-частотної характеристик.

Завдання на СРС:  [3], 16.3-16.5 (парні).

8

МКР – 1 «Числові та функціональні ряди. Інтеграл Фур’є».

9

Операції над комплексними числами.

Завдання на СРС:  [3], 9.5-9.7 (парні).

10

Знаходження значень основних елементарних функцій комплексного аргументу.

Завдання на СРС:  [3], 9.8-9.8 (парні).

11

Похідна функції комплексної змінної. Дослідження функцій на моногенність та аналітичність. Знаходження аналітичної функції за однією з її частин. Геометричний зміст похідної.

Завдання на СРС:  [3], 10.6-10.11 (парні).

12

Інтеграл функції комплексної змінної: знаходження інтегралів від неаналітичної та аналітичної функцій, застосування інтегральної формули Коші.

Завдання на СРС:  [3], 11.7-11.12 (парні).

13

Прийоми розвинення аналітичної функції у степеневий ряд. Знаходження нулів аналітичної функції та їх кратності. Знаходження особливих точок аналітичної функції та з’ясування їх характеру.

Завдання на СРС:  [3], 12.3-12.6, 13.4-13.6 (парні).

14

Обчислення інтегралів від комплексних та деяких дійсних функцій за допомогою теорії лишків.

Завдання на СРС:  [3], 14.3-14.4, 15.3-15.6 (парні).

15

Знаходження зображень деяких оригіналів.

Завдання на СРС:  [3], 16.3-16.5 (парні).

16

Знаходження зображень оригіналів та оригіналів для заданих зображень.

Завдання на СРС:  [3], 17.11-17.16, 18.5 (парні).

17

Знаходження оригіналів для даних зображень за допомогою формули обернення.

Завдання на СРС:  [3], 18.6-18.7 (парні).

18

МКР – 2 «Функції комплексної змінної.  Операційне числення».

Семестр

Навчальний час

Розподіл навчальних годин

Контрольні заходи

кредити

акад. год.

Лекц.

Практич.

Лаб. роб.

СРС + Екз.

МКР

ДКР

Семестрова атестація

1

3.5

105

36

36

-

33

1

1

залік