[RE-96] Математичний аналіз. Частина 2

Опис дисципліни

Відповідно до навчального плану кредитний модуль «Вища  математика. Математичний аналіз-2» входить до навчальної дисципліни «Вища математика» (ЗО 7), належить до циклу математичної, природничо-наукової підготовки та має домінуюче значення у підготовці фахівця. Він є необхідним для успішного засвоєння спеціальних дисциплін. Даний кредитний модуль ґрунтується на знаннях студентів, набутих при вивченні математики у середній школі, а також кредитного модуля «Вища  математика. Математичний аналіз-2». Дисципліна «Вища математика» є однією з фундаментальних загальноосвітніх дисциплін, що складають теоретичну основу підготовки інженерів та програмістів. Знання та вміння, отримані студентом під час вивчення даної навчальної дисципліни, використовуються в подальшому при вивченні багатьох наступних дисциплін професійної підготовки фахівця з базовою та повною вищою освітою.  При проходженні даної дисципліни студенти ознайомляться: з основами інтегрального числення функції однієї та багатьох змінних, елементами теорії поля та звичайними диференціальними рівняннями. На практичних заняттях опанують методи розв’язання основних задач з усіх розділів. В курсі передбачений контроль якості отриманих знань у вигляді модульних контрольних робіт та домашніх контрольних робіт.

Цілі дисципліни

Метою навчальної дисципліни є:

• формування у здобувачів освіти логічного мислення, розвиток їх інтелекту та здібностей;
• формування здатностей до необхідної інтуїції та ерудиції у питаннях застосування математики, виховання у студентів прикладної математичної культури;
• формування здатностей самостійно використовувати і вивчати літературу з математики, розвивати гнучкість мислення, творчу самостійності та дію.

Предмет навчальної дисципліни

Загальні математичні властивості та закономірності. Визначений інтеграл, основи диференціального числення функцій багатьох  змінних, основи інтегрального числення багатьох змінних, елементами теорії поля та звичайними диференціальними рівняннями.

Компетентності

Метою навчальної дисципліни є формування у студентів здатностей:

• здатність до абстрактного мислення, аналізу та синтезу (ЗК 1 );
• здатність застосовувати знання у практичних ситуаціях (ЗК 2 );
• здатність виявляти, ставити та вирішувати проблеми (ЗК 08 );
• здатність до застосування умінь, отриманих після засвоєння кредитного модуля «Вища  математика. Математичний аналіз-2», при вивченні загально інженерних та спеціальних дисциплін;
• здатність використовувати методи математичного аналізу в інженерних розрахунках;
• Здатність доводити розв’язок задачі до практично прийнятого результату – числа, графіка, точного якісного висновку із застосуванням для цього адекватних обчислювальних засобів, таблиць і довідників;
• Здатність аналізувати одержані результати, здатності до узагальнення, постановки цілі та вибору шляхів її розв’язання, володіння культурою мислення.

Програмні результати навчання

• Аналізувати, аргументувати, приймати рішення при розв’язанні спеціалізованих задач та практичних проблем телекомунікацій та радіотехніки, які характеризуються комплексністю та неповною визначеністю умов (ПРН1);
• застосовувати фундаментальні і прикладні науки для аналізу та розробки процесів, що відбуваються в телекомунікаційних та радіотехнічних системах (ПРН12);

·основ інтегрального числення функцій однієї змінної (невизначені та визначені інтеграли, невластиві інтеграли першого та другого роду);

·основ диференціального числення функцій багатьох змінних;

·основ інтегрального числення функцій багатьох змінних (задачі, що приводять до поняття подвійних та потрійних інтегралів, означення, умови існування, властивості, прийоми обчислення в різних системах координат, застосування до розв’язання задач геометрії та прикладних задач; задачі, що приводять до поняття криволінійних та поверхневих інтегралів першого та другого роду, означення, умови існування, властивості, застосування до розв’язання задач геометрії та прикладних задач);

·основ теорії поля ( скалярне та векторне поля та їх характеристики; обчислення потоку та циркуляції векторного поля з використанням формул Остроградського –Гауса та Стокса ·основ теорії та практики звичайних диференціальних рівнянь ( задачі, що приводять до диференціальних рівнянь, означення, загальні поняття задача Коші; види диференціальних рівнянь; ліній ні однорідні та неоднорідні диференціальні рівняння, зокрема , рівняння зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною; системи диференціальних рівнянь). 

Назва розділів і тем

Кількість годин

Всього

у тому числі

Лекції

Практичні

СРС

1

2

3

4

-

КРСЗ-1

2

-

2

-

Розділ 1. Визначений інтеграл

Тема 1. Визначений інтеграл

24

8

6

10

Разом за розділом 1

24

8

6

10

Розділ 2. Диференціальне числення функції багатьох змінних

Тема 2.  Диференціальне числення функції багатьох змінних

28

10

10

8

Контрольна робота з розділів 1,2

8

–

2

6

Разом за розділом 2

36

10

12

14

Розділ 3. Інтегральне числення функції багатьох змінних. Елементи теорії поля

Тема 3.  Кратні ,

криволінійні та поверхневі інтеграли. Векторний аналіз.

52

20

16

16

Контрольна робота з розділу 3

6

–

2

4

Разом за розділом 3

58

20

18

20

Розділ 4. Звичайні диференціальні рівняння

Тема 4.  Диференціальні рівняння

46

16

14

16

Контрольна робота з розділу 4

4

–

2

2

Разом за розділом 4

50

16

16

18

Розрахункова робота

10

–

–

10

Екзамен

30

–

–

30

Всього годин

210

54

54

102

№

з/п

Назва теми лекції та перелік основних питань (перелік дидактичних засобів, посилання на літературу та завдання на СРС)

1

Визначений інтеграл за відрізком та його властивості. Задачі що приводять до поняття визначеного інтеграла. Поняття визначеного інтеграла як границі інтегральних сум. Теорема про достатні умови інтегровності функції. Властивості визначеного інтеграла.

Рекомендована література:  [2], розділ 9.6.   

2

Методи обчислення визначеного інтеграла: формула Ньютона-Ляйбніца, заміна змінной та інтегрування частинами. Інтегрування парних та непарних функцій.

Рекомендована література:  [2], розділ 9.7.    

3

Застосування визначеного інтеграла: обчислення площ плоских фігур, об’ємов тіл обертання та об’ємів тіл за відомими перерізами.

 Рекомендована література: [2], розділ 9.9.      

4

Невластиві інтеграли першого та другого роду: від обмеженої функції за необмеженим відрізком та від необмеженої функції за обмеженим відрізком. Поняття про збіжність та розбіжність невластивих інтегралів Теореми порівняння

Рекомендована література:  [2], розділ 9.8.    

5

 Функції багатьох змінних. Область визначення. Границя функцій багатьох змінних. Неперервність функцій багатьох змінних. Властивості функцій, неперервних в замкненій області.

Рекомендована література:  [1], розділ 8.1.   

6

Похідна в заданому напрямку. Градієнт. Частинні похідні. Повна похідна.

Необхідні та достатні умови диференційовності. Повний диференціал. Похідні складної функції.. Інваріантність форми диференціала.

Рекомендована література:  [1], розділ 8.2,8.4.   

7

 Неявні функції, теореми існування (без доведення). Похідні неявних функцій. Дотична площина та нормаль до поверхні.

Рекомендована література:  [1], розділ 8.2,8.4.  

8

 Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Формула Тейлора. Екстремуми функцій багатьох змінних.

Рекомендована література:  [1], розділ 8.2

9

Необхідні умови екстремумів. Достатні умови екстремумів. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Найбільше та найменше значення функції в області.

 Рекомендована література:  [1], 8.5      

10

Інтеграл за геометричним об’єктом: поняття про геометричний об’єкт та його міру, означення інтеграла за геометричним об’єктом, властивості й основні теореми. Подвійний інтеграл: означення подвійного інтеграла, основні властивості та обчислення в декартовій системі координат (зведення до повторного). Задача, що приводить до поняття подвійного інтеграла. 

Рекомендована література:  [2], розділ 10.1, 10.2.

11

Заміна змінних в подвійному інтегралі. Поняття криволінійних координат на площині, якобіан перетворення систем координат (виведення якобіана переходу до полярної та узагальненої полярної систем координат). Теорема про заміну змінної в подвійному інтегралі (без доведення). Застосування подвійного інтеграла.

Рекомендована література:  [2], розділ 10.2.

12

Потрійний інтеграл: означення потрійного інтеграла, основні властивості та обчислення в декартовій системі координат (зведення до повторних). Заміна змінних в потрійному інтегралі, перехід до циліндричної та сферичної систем координат. Застосування потрійного інтеграла.

Рекомендована література:  [2], розділ 10.3.

13

Криволінійний інтеграл 1-го роду (за довжиною дуги): означення, основні властивості та методи обчислення. Теорема про існування криволінійного інтеграла 1 роду. Геометричні та фізичні його застосування.

 Рекомендована література:  [2], розділ 10.4.

14

Криволінійний інтеграл 2-го роду (за координатами): векторний та скалярний запис інтеграла, методи обчислення. Зв’язок з криволінійнм інтегралом 1 роду. Теорема Остроградського-Гріна про зв’язок з подвійним інтегралом. Теорема про еквівалентність 4-х умов.

Рекомендована література: [2], розділ 10.5.

15

Поверхневий інтеграл 1-го роду (за площею поверхні) означення, основні властивості та методи обчислення.

Рекомендована література: [2], розділи 10.6.

16

Поверхневий інтеграл 2-го роду (за координатами): означення, основні властивості та методи обчислення. Формула  зв’язку з інтегралом 1-го роду. Теорема Остроградського- Гауса про зв’язок з потрійним інтегралом.

Рекомендована література: [2], розділи 10.6, 10.7.

17

Скалярне та векторне поле: означення, приклади та їх характеристики. Інваріантне означення дивергенції.

 Векторний запис формули Остроградського- Гауса, застосування до обчислення потоку векторного поля.

Рекомендована література:  [2], розділ 11.1.1 – 11.1.3.

18

Циркуляція векторного поля. Теорема Стокса про зв’язок криволінійного та поверхневого інтегралів 2-ого роду. Інваріантне означення ротора.  Векторний запис формули Стокса.

Рекомендована література: [2], розділи 11.1.4, 11.2, 11.3.

19

Основні класи векторних полів: соленоїдальне, потенціальне та гармонічне. Їх основні властивості. Векторні диференціальні операції першого та другого порядку.

Рекомендована література: [2], розділи 11.2.

20

Звичайні диференціальні рівняння (загальні відомості). Диференціальні рівняння 1-ого порядку(ДР): загальний вигляд, поняття загального, частинного та особливого розв’язків. Задача Коші для диференціального рівняння  1-ого порядку, її геометричний та фізичний зміст. Теорема Коші. Приклади фізичних та геметричних задач, що приводять до ДР 1-ого порядку.  

 Рекомендована література:  [1], розділ 12.1.1-12.1.2.

21

Методи розв’язання диференціального рівняння  1-ого порядку в залежності від загального вигляду: ДР з відокремлюваними змінними, однорідне ДР та ДР, що зводяться до однорідних. Метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа) розв’язання лінійного диференціального рівняння  1-ого порядку. Метод Бернуллі розв’язання диференціального рівняння Бернулі.

Рекомендована література:  [1], розділ 12.1.3 - 12.1.7.

22

Диференціальні рівняння вищих порядків (загальні відомості). Задача Коші для диференціальних рівнянь  вищих порядків, її геометричний та фізичний зміст. Теорема Коші про достатні умови існування та єдиності задачі Кощі ( для ДР 2-ого порядку). Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку, методи їх розв’язання.

Рекомендована література:  [1], розділ 12.2.1- 12.2.2.

23

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи функцій. Визначник Вронського. Умови лінійної залежнності і лінійної незалежні системи розв‘язків лінійного диференціального рівняння. Рекомендована література:  [1], розділ 12.2.3. - 12.2.5.

24

Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищих порядків (ЛОДР).Властивості розв‘язків ЛОДР. Лінійний диференціальний оператор та його властивості. Теорема про структуру загального розв‘язку ЛОДР. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Метод  Ойлера їх розв‘язання. Побудова фундаментальної системи розв‘язків ЛОДР в залежності від типу коренів його характеристичного рівняння.

Рекомендована література: [1], розділ 12.3. 

25

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння вищих порядків (ЛНДР). Теорема про структуру загального розв‘язку ЛНДР. Принцип суперпозиції. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих їх розв‘язання (метод Лагранжа). Демонстрація методу  для розв‘язання ЛНДР другого порядку.

Рекомендована література: [1], розділ 12.4.1- 12.4.2.

26

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною. Метод підбору частинного розв‘язку ЛНДР (в залежності від вигляду правої частини диференціального рівняння). Схема розв‘язання.

Рекомендована література: [1], розділ 12.4.3 - 12.4.4.

№

з/п

Назва теми заняття та перелік основних питань

(перелік дидактичних засобів, посилання на літературу та завдання на СРС)

1

КРСЗ-1

2

Основні методи обчислення визначеного інтеграла.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 9.7.

3

Застосування визначеного інтеграла.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 9.8.

4

Невласні інтеграли І та ІІ роду.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 9.9.

5

Функції багатьох змінних.

Завдання на СРС:  [1], Практикум 8.1.

6

Частинні похідні та диференціали. Дотична площина і нормаль до поверхні. Похідна за напрямом. Градієнт.

Завдання на СРС:  [1], Практикум 8.2-8.4.

7

Похідні та диференціали вищих порядків.

Завдання на СРС:  [1], Практикум 8.2.

8

Екстремуми функції багатьох змінних. Умовний та глобальний екстремуми.

Завдання на СРС:  [1], Практикум 8.5.

9

Умовний та глобальний екстремуми.

Завдання на СРС:  [1], Практикум 8.5.

10

МКР – 1 «Визначений інтеграл. Диференціальне числення функцій багатьох змінних».

11

Подвійні інтеграли. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Застосування.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 10.1.

12

Потрійні інтеграли. Заміна змінних у потрійному інтегралі. Застосування.
Завдання на СРС:  [2], Практикум 10.2.

13

Криволінійні інтеграли першого роду. Обчислення. Застосування.
Завдання на СРС:  [2], Практикум 10.3.

14

Криволінійні інтеграли другого роду. Обчислення. Застосування.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 10.4.

15

Поверхневі інтеграли першого роду. Обчислення. Застосування.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 10.5.

16

Поверхневі інтеграли другого роду. Обчислення. Застосування.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 10.6.

17

Основні типи векторних полів. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 11.1.

18

Потік векторного поля. Теорема Остроградського-Ґауса. Ротор і циркуляція векторного поля. Теорема Стокса

Завдання на СРС:  [2], Практикум 11.2.

19

МКР– 2 «Інтегральне числення функцій багатьох змінних».

20

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідні ДР 1-го порядку. Лінійні ДР 1-го порядку, рівняння Бернуллі.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 12.1.

21

Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають пониження порядку.
Завдання на СРС:  [2], Практикум 12.2.

22

Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами.
Завдання на СРС:  [2], Практикум 12.3.

23

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною.
Завдання на СРС:  [2], Практикум 12.4.

24

Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Метод Лагранжа.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 12.4.

25

Системи диференціальних рівнянь. Метод виключення.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 12.4.

26

Матричний метод розв‘язання лінійних однорідних систем зі сталими коефіцієнтами.

Завдання на СРС:  [2], Практикум 12.4.

27

МКР– 3 «Звичайні диференціальні рівняння».

Семестр

Навчальний час

Розподіл навчальних годин

Контрольні заходи

кредити

акад. год.

Лекц.

Практич.

Лаб. роб.

СРС + Екз.

МКР

ДКР

Семестрова атестація

1

7

210

54

54

-

102

1

1

екз.